Question

14．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D 
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．

Answer 1

分析 （1）连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据切线的性质得到∠FEO=90°，得到EF∥OD，于是得到结论；
（2）过G作GN⊥BC于N，得到△GMB是等腰直角三角形，得到MB=GM，根据平行四边形的性质得到∠FCD=∠FED，根据余角的性质得到∠CGM=∠ACD，等量代换得到∠CGM=∠DEF，根据三角函数的定义得到CM=2GM，于是得到结论．

解答 解：（1）连接CE，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∴∠COE=2∠B=90°，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEO=90°，
∴EF∥OC，
∵DE∥CF，
∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）过G作GN⊥BC于N，
∴△GMB是等腰直角三角形，
∴MB=GM，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴∠FCD=∠FED，
∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，
∴∠CGM=∠ACD，
∴∠CGM=∠DEF，
∵tan∠DEF=2，
∴tan∠CGM=$\frac{CM}{GM}$=2，
∴CM=2GM，
∴CM+BM=2GM+GM=3，
∴GM=1，
∴BG=$\sqrt{2}$GM=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．