题目内容
6．
如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（3，-16）．（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线PE大于二次函数y=x2+bx+c的值，x的取值范围；
（4）F为抛物线上的一个动点，记△ABF的面积为S，当S=16，求出相应的F点的坐标．
分析 （1）直接利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）利用菱形的性质得出直线PE必过菱形ACBD的对称中心M，进而求出直线PE的解析式，再利用联立方程组求出答案；
（3）利用（2）中所求结合函数图象得出答案；
（4）利用已知得出F点纵坐标，进而求出F点坐标．
解答 解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的顶点为C（3，-16），
∴二次函数解析式为：y=（x-3）2-16=x2-6x-7；
（2）如图1，设直线PE对应的函数关系式为：y=kx+b，由题意可得，四边形ACBD是菱形，
过直线PE必过菱形ACBD的对称中心M，
将P（0，-7），M（3，0），代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-7}\\{3k+b=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{3}}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
故直线PE的解析式为：y=$\frac{7}{3}$x-7，
从而联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{3}x-7}\\{y={x}^{2}-6x-7}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{3}}\\{y=\frac{112}{9}}\end{array}\right.$，
根据题意可得：点E（$\frac{25}{3}$，$\frac{112}{9}$）；
（3）观察图象得：0＜x＜$\frac{25}{3}$时直线PE大于二次函数y=x2+bx+c的值；
（4）如图2，假设存在这样的点F，可设F（x，y），过点F作FG⊥x轴，垂足为点G，根据题意AB=8，
故S=$\frac{1}{2}$×|y|×8=16，
解得：y=±4，
当y=4时，x2-6x-7=4，
解得：x=3±2$\sqrt{5}$，
当y=-4时，x2-6x-7=-4，
解得：x=3±2$\sqrt{3}$；
∴F1（3+2$\sqrt{5}$，4），F2（3-2$\sqrt{5}$，4），F3（3+2$\sqrt{3}$，-4），F4（3-2$\sqrt{3}$，-4）．
点评 此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及函数交点求法和一元二次方程的解法等知识，注意数形结合的应用，根据题意得出F点纵坐标是解题关键．
激活思维优加课堂系列答案
活力试卷系列答案| A． | 变小 | B． | 不变 | C． | 变大 | D． | 无法确定 |
如图，在矩形ABCD中，E是边AB上的点，将线段BE绕B点顺时针旋转一定角度后交边CD于点F，此时AE=CF，连接EF交对角线AC于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）| A． | 8$\sqrt{3}$ | B． | 6 | C． | 4$\sqrt{3}$ | D． | 8 |
如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=$\sqrt{3}$，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于$\sqrt{6}$．
如图，已知点A（2，m），B（n，1）在抛物线y=x2的图象上
如图，点A，O，D三点在一条直线上，∠AOB=20°，∠BOC=3∠COD．