Question

3．已知M是菱形ABCD的对角线AC上一动点，连接BM并延长，交AD于点E，已知AB=5，AC=8，则当AM的长为4或$\frac{7}{4}$时，△BMC是直角三角形．

Answer 1

分析 首先连接BD，交AC于点O，由菱形ABCD中，AB=5，AC=8，易求得BC=5，OA=OC=4，且BD⊥AC；然后分别从BM⊥AC与BM⊥BC去分析求解即可求得答案．

解答 解：连接BD，交AC于点O，
∵菱形ABCD中，AB=5，AC=8，
∴BC=AC=5，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，AC⊥BD；
当BM⊥AC时，点M与点O重合，此时AM=OA=4；
当BM⊥BC时，∠CBM=∠COB，∠BCM=∠OCB，
∴△CBM∽△COB，
∴$\frac{BC}{OC}=\frac{CM}{CB}$，
即$\frac{5}{4}=\frac{CM}{5}$，
∴CM=$\frac{25}{4}$，
∴AM=AC-CM=$\frac{7}{4}$；
综上：AM=4或$\frac{7}{4}$．
故答案为：4或$\frac{7}{4}$．

点评 此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线，利用分类讨论思想求解是解此题的关键．