Question

8．已知二次函数y=x²+（2m+2）x+m²+m-1（m是常数）．
（1）用含m的代数式表示该二次函数图象的顶点坐标；
（2）当二次函数图象顶点在x轴上时，求出m的值及此时顶点的坐标；
（3）小明研究发现：m取不同的值时，表示不同的二次函数，求出这些二次函数图象的顶点坐标，并将它们在同一直角坐标系中画出，可知这些顶点都在同一条直线上．请写出这条直线的函数表达式，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）即可得出答案；
（2）由二次函数图象顶点在x轴上，则$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=0，求得m的值及顶点的坐标；
（3）设直线的函数表达式为y=kx+b，取两个不同的m值代入，得出顶点坐标代入y=kx+b，可求得k，b的值，再将x=-m-1，y=-m-2代入判断是否满足解析式即可．

解答 解：（1）y=x²+（2m+2）x+m²+m-1=（x+m+1）²-m-2，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（-m-1，-m-2）；       
（2）当二次函数图象顶点在x轴上时，-m-2=0，
解得：m=-2，
∴此时顶点的坐标为（1，0）； 
（3）直线的函数表达式为y=x-1，证明如下：
法1：设直线的函数表达式为y=kx+b，取两个顶点坐标代入，可求得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-1\end{array}$
∴y=x-1．
∵将x=-m-1，y=-m-2代入满足y=x-1，
∴m取不同值时，点（-m-1，-m-2）都在一次函数y=x-1的图象上
即顶点所在的直线的函数表达式为y=x-1．

点评 本题考查了二次函数的性质，主要利用了顶点坐标的公式，是基础题，二次函数图象顶点在x轴上是二次函数的顶点坐标纵坐标=0是解题的关键．