Question

3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弧AB=弧AC，AP是⊙O的切线，交BO的延长线于点P．
（1）求证：AP∥BC；
（2）若tan∠P=$\frac{3}{4}$，求tan∠PAC的值．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，如图，利用弧、弦、圆周角之间的关系由弧AB=弧AC得到AB=AC，则根据等腰三角形的性质得BH=CH，再根据垂径定理的推论可判断点O在AH上，然后根据切线的性质得OA⊥AP，于是可判断AP∥BC；
（2）根据平行线的性质，由AP∥BC得到∠P=∠PBC，再根据正切的定义得到tan∠OBH=$\frac{OH}{BH}$=$\frac{3}{4}$，设OH=3x，则BH=4x，OB=5x，然后在Rt△ABH中利用正切的定义可计算出tan∠ABH=2，然后证明∠ABH=∠C=∠PAC即可．

解答 （1）证明：作AH⊥BC于H，如图，
∵弧AB=弧AC，
∴AB=AC，
∴BH=CH，
即AH垂直平分BC，
∴点O在AH上，
∵AP为切线，
∴OA⊥AP，
∴AP∥BC；
（2）解：∵AP∥BC，
∴∠P=∠PBC，
在Rt△OBH中，tan∠OBH=$\frac{OH}{BH}$=$\frac{3}{4}$，
设OH=3x，则BH=4x，
∴OB=5x，
∴AH=OA+OH=8x，
在Rt△ABH中，tan∠ABH=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{8x}{4x}$=2，
∵∠ABH=∠C=∠PAC，
∴tan∠PAC=2．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了等腰三角形的性质和垂径定理．