Question

13．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点． 

（1）已知点A的坐标为（-3，1），
①在点R（0，4），S（2，2），T（2，-3）中，为点A的同族点的是R，S；
②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为（-4，0）或（4，0）；
（2）直线l：y=x-3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，
①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；
②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①把各点的横纵坐标的绝对值相加，得4，则是A的同族点；
②因为点B在x轴上，所以设B（x，0），则|x|=4，可得结论；
（2）①首先证明点M的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值3，然后画出图形即可解决问题；
②如图，设P（m，0）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆与直线y=x-3相切，求出此时P的坐标，即可判断；

解答 解：（1）①∵点A的坐标为（-3，1），
∴3+1=4，
点R（0，4），S（2，2），T（2，-3）中，
0+4=4，2+2=4，2+3=5，
∴点A的同族点的是R，S；
故答案为：R，S；

②∵点B在x轴上，
∴点B的纵坐标为0，
设B（x，0），
则|x|=4，
∴x=±4，
∴B（-4，0）或（4，0）；
故答案为：（-4，0）或（4，0）；

（2）①由题意，直线y=x-3与x轴交于C（3，0），与y轴交于D（0，-3）．
 
 点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），
则有：x≥0，y≤0，且y=x-3．
点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|，
则|x|+|y|=x-y=3．
∴点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．
即点N在右图中所示的正方形CDEF上．
∵点E的坐标为（-3，0），点N在直线x=n上，
∴-3≤n≤3．

②如图，设P（m，0）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆与直线y=x-3相切，

∵PN=$\sqrt{2}$，∠PCN=∠CPN=45°，
∴PC=2，
∴OP=1，
观察图形可知，当m≥1时，若以（m，0）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，
再根据对称性可知，m≤-1也满足条件，
∴满足条件的m的范围：m≤-1或m≥1．

点评 本题考查一次函数综合题、同族点的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．