Question

15．如图，抛物线y=-x²-2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求顶点D的坐标．
（2）矩形FMNP的一边MN在线段AB上，点 F，P在抛物线上（点F在点P的左边），当矩形FMNP的周长最大时，求矩形FMNP的面积．
（3）点H是抛物线上一点，过点H作y轴的平行线，与直线AC交于点E，交x轴于点G．
①若点H在第二象限内，当HE最长时，求点H的坐标．
②连结DH，当DH=GH时，请直接写出满足条件的点H的坐标．

Answer 1

分析 （1）将抛物线的一般形式化成顶点式，接口得出点D的坐标；
（2）设出点F的坐标，即可得出MN，进而得出矩形周长C=-2（x+2）²+10，进而求出MN，NP即可得出矩形的面积；
（3）①先建立HE=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，即可确定出结论；
②利用DH=GH建立方程求出点H的坐标．

解答 解：（1）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4
∴顶点D的坐标为（-1，4）．

（2）设F的坐标为（x，y），则MN=2（-1-x）．
∴矩形周长C=4（-1-x）+2y=4（-1-x）+2（-x²-2x+3）=-2x²-8x+2=-2（x+2）²+10
∴当x=-2时，矩形周长最大，此时MN=2（-1-x）=2，NP=3．
∴矩形面积S=6．                         

（3）①设H的坐标为（x，y），直线AC：y=x+3．
∴HE=HG-EG=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，HE最大，此时点H（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），

②设H的坐标为（x，y），则G的坐标为（x，0），D（-1，4）．
当DH=GH时，此时G在A的右侧或G在B的左侧，GH=y，
DH²=（x+1）²+（y-4）²，
∴y²=（x+1）²+（y-4）²=x²+2x+y²-8y+17，
即x²+2x-8y+17=0，
∵y=-x²-2x+3，
∴9x²+18x-7=0．
∴x=$\frac{1}{3}$或x=-$\frac{7}{3}$，
∴点H（-$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）或（$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线顶点坐标的确定，矩形的周长和面积的计算方法，解本题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题，是一道中等难度的题目．