Question

4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是$\widehat{AC}$的中点，DE⊥AB于E，DF交AC于按F，DB交AC于点G．下面结论：①FA=FD=FG；②FG=GC；③CD是DG与DB的比例中项；④$\frac{EO}{OB}$=$\frac{EF}{FD}$，其中正确的结论有3个．

Answer 1

分析 连接AD，延长DE交⊙O于M，如图1，根据垂径定理得$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$，又由D是$\widehat{AC}$的中点，得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$=$\widehat{CD}$，根据圆周角定理得到∠3=∠B，再由AB为直径，得到∠ADB=90°，所以∠3+∠AGD=90°，易得∠1=∠AGD，所以DF=FG；根据圆周角定理由$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$=$\widehat{CD}$，得到∠3=∠2，于是得到FA=FD=FG；根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ADB=∠ACB=90°，然后证明∠FGD=∠FDG，得到FD=FG，加上FA=FD，所以FA=FG，接着在△ADF和△CDG中，∠DAF=∠DCG，DA=DC，假设CG=FG，则AF=CG，则可判断△ADF≌△CDG，而△ADF为等腰三角形，所以△DCG也为等腰三角形，于是得到∠DCA=∠CDB，所以点C为BD弧的中点，即C、D为半圆的三等分点，这与题设不符，所以CG与FG不能确定相等；通过△CDG∽△BCD，根据相似三角形的性质得到CD是DG与DB的比例中项；如图2，连接OD，则OD⊥AC，通过△AEF∽△ODE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{OD}=\frac{EF}{OE}$，等量代换即可得到结论．

解答 证明：如图1，连接AD，延长DE交⊙O于M，如图1，
∵DE⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$，
∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$=$\widehat{CD}$，
∴∠3=∠B，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠3+∠AGD=90°，
∵∠B+∠1=90°，
∴∠1=∠AGD，
∴DF=FG；
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AM}$=$\widehat{CD}$，
∴∠3=∠2，
∴AF=FG，
∴FA=FD=FG；故①正确；
如图1，连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴∠FDG+∠ADQ=90°，∠CGB+∠4=90°，
∵∠CGB=∠FGD，∠4=∠ADQ，
∴∠FGD=∠FDG，
∴FD=FG，
∵FA=FD，
∴FA=FG，
在△ADF和△CDG中，
∠DAF=∠DCG，DA=DC，
若CG=FG，则AF=CG，则可判断△ADF≌△CDG，
∵△ADF为等腰三角形，
∴△DCG也为等腰三角形，
∴∠DCA=∠CDB，
∴点C为BD弧的中点，即C、D为半圆的三等分点，这与题设不符，
∴CG与FG不能确定相等，故②错误；
∵∠DCA=∠4，∠CDG=∠CDG，
∴△CDG∽△BCD，
∴$\frac{DG}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=DG•BD，
∴CD是DG与DB的比例中项，故③正确；
如图2，连接OD，则OD⊥AC，
∴∠A=∠EDO，
∵∠AEF=∠DEO=90°，
∴△AEF∽△ODE，
∴$\frac{AF}{OD}=\frac{EF}{OE}$，
∵AF=DF，OD=OB，
∴$\frac{EO}{OB}$=$\frac{EF}{FD}$，故④正确．
故答案为：3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．