Question

16．如图，直线AB与反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象交于点A（u，p）和点B（v，q），与x轴交于点C，已知∠ACO=45°，若$\frac{1}{3}$＜u＜2，求v的取值范围．

Answer 1

分析 由∠ACO=45°，可设直线AB的解析式为y=-x+b．由点A、B在反比例函数图象上，可得出“p=$\frac{4}{u}$，q=$\frac{4}{v}$”，将其代入点A、B的坐标中，再利用点A、B在直线AB上，可得出“$\frac{4}{u}$=-u+b①，$\frac{4}{v}$=-v+b②”，二者做差即可得出u、v的关系，结合点u的取值范围即可得出结论．

解答 解：∵∠ACO=45°，
∴设直线AB的解析式为y=-x+b．
∵点A（u，p）和点B（v，q）为反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上的点，
∴p=$\frac{4}{u}$，q=$\frac{4}{v}$，
∴点A（u，$\frac{4}{u}$），点B（v，$\frac{4}{v}$）．
又∵点A、B为直线AB上的点，
∴$\frac{4}{u}$=-u+b①，$\frac{4}{v}$=-v+b②，
①-②得：$\frac{4（v-u）}{uv}$=v-u，
即v=$\frac{4}{u}$．
又∵$\frac{1}{3}$＜u＜2，
∴2＜v＜12．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出v=$\frac{4}{u}$．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，对直线AB解析式设而不求，利用点在反比例函数图象上，分别找出其坐标特点，再将其代入一次函数解析中，通过计算即可得出结论．