Question

如图，已知等边△ABC，P为BC边上的动点，BP=nCP，以AP为边向右作等边△APD，PF⊥AD交AC于E，连接CD．

（1）当n=1时，求

CD

BP

=

 

；

PE

EF

=

 

．
（2）当n=2时，求证：PE=EF．
（3）当n=

 

时，△AEF是等腰直角三角形（直接写出结果）．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）当n=1时，BP=CP，由△ABC和△APD是等边三角形，可得△APC≌△ADC，即可得出

CD

BP

=1，再由含30°角的直角三角形求出

AE

EF

=2，即可得出答案．
（2）作EM∥AD，交PD于点M，连接DE，利用△ABC和△APD是等边三角形，得出△BAP≌△CAD，再利用全等的性质得出△PCD∽△EMD，利用比例关系式得出点M为中点，
由平行线的性质即可得出点E为中点．即PE=EF．
（3）假设△AEF是等腰直角三角形，得出∠FAE=∠FEA=45°，作AM⊥BC交BC于点M，得出∠BAM=30°，∠MAP=15°，再作PN⊥AC，利用角平分线的性质，得出MP=NP，由
sin60°求出MP与CP的关系，再找出BM=MP+PC，利用

BP

CP

即可求出n的值．

解答：解：（1）当n=1时，BP=CP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APC=90°，∠PAC=30°，
∵以AP为边向右作等边△APD，
∴AP=AD，∠PAD=60°，
∴∠DAC=∠PAC=30°，
在△APC和△ADC中，

AP=AD ∠PAC=∠DAC AC=AC

，
∴△APC≌△ADC（SAS），
∴CD=PC，
∴

CD

BP

=1，
∵PF⊥AD，
∴∠APE=30°，
∴PE=AE，
∵∠DAC=30°，
∴

AE

EF

=2，
∴

PE

EF

=2，
故答案为：1，2．
（2）如图1，作EM∥AD，交PD于点M，连接DE，

∵△ABC和△APD是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAP=60°，AB=AC，AP=AD，
∵∠BAP+∠PAC=∠DAC+∠PAC=60°，
∴∠BAP=∠DAC
在△BAP和△CAD中，

AB=AC ∠BAP=∠DAC AP=AD

，
∴△BAP≌△CAD（SAS），
∴∠DCA=∠B=60°，CD=BP，
∴∠PCD=120°，
∵n=2，即BP=2CP，BP：CP=2，
∴CD：CP=2，
∵EM∥AD，∠ADB=60°，
∴∠DME=120°，
∵PF⊥AD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠EAP=∠EDP，
∵∠APD=∠DCA=60°，
∴∠EAP=∠CDP，
∴∠CDP=∠EDP，
∴△PCD∽△EMD，
∴DM：EM=CD：CP=2，
∴DM=2EM，
∵∠DPE=30°，
∴PM=2EM
∴PM=DM，
∵EM∥AD，
∴PE=EP．
（3）如图2，假设△AEF是等腰直角三角形

∵△AEF是等腰直角三角形，
∴FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠FAE=60°，
∴∠BAP=∠FAE=45°，∠PAC=15°，
作AM⊥BC交BC于点M，
∴∠BAM=30°，∠MAP=15°，
作PN⊥AC，
∵∠MAP=∠CAM，
∴MP=NP，
∴sin60°=

NP

CP

=

MP

CP

=

3

2

，
∴MP=

3

2

CP，
∵BM=MP+PC，
∴

BP

CP

=

BM+MP

CP

=

MP+PC+MP

CP

=

2MP+PC

CP

=

3

+1，
∴n=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，本题的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形相似及三角函数求解．