题目内容
10．
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=-$\frac{1}{3}{（x-m）^2}$+n的顶点P在直线y=-x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD=2，点P、D在y轴的同侧．（1）n=-m+4（用含m的代数式表示），点C的纵坐标是-$\frac{1}{3}$m2-m+4（用含m的代数式表示）．
（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式．
（3）设矩形BCDE的周长为d（d＞0），求d与m之间的函数表达式．
（4）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．
分析 （1）根据二次函数的解析式写出顶点P的坐标（m，n），又因为点p在直线y=-x+4上，将p点坐标代入可求出n，将二次函数化成一般式后得出点C的纵坐标，并将其化成含m的代数式；
（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，由CD=2可知，点P的横坐标为2，可求得纵坐标为2，则P（2，2），得出抛物线对应的函数表达式；
（3）根据坐标表示出边BC的长，由矩形周长公式表示出d；
（4）首先点B与C不能重合，因此点B不会在抛物线上，则分两类情况讨论：①点C、D在抛物线上时；②点C、E在抛物线上时；由（1）的结论计算出m的值．
解答 解：（1）y=-$\frac{1}{3}$（x-m）2+n=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{2}{3}$mx-$\frac{1}{3}$m2+n，
∴P（m，n），
∵点P在直线y=-x+4上，
∴n=-m+4，
当x=0时，y=-$\frac{1}{3}$m2+n=-$\frac{1}{3}$m2-m+4，
即点C的纵坐标为：-$\frac{1}{3}$m2-m+4，
故答案为：-m+4，-$\frac{1}{3}$m2-m+4；
（2）∵四边形BCDE是矩形，
∴DE∥y轴．
∵CD=2，
∴当x=2时，y=2．
∴DE与AB的交点坐标为（2，2）．
∴当点P在矩形BCDE的边DE上时，抛物线的顶点P坐标为（2，2）．
∴抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{3}{（x-2）^2}+2$．
（3）∵直线y=-x+4与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，4）．
当点B与点C重合时，$-\frac{1}{3}{m^2}-m+4=4$．
解得m1=0，m2=-3．
i）当m＜-3或m＞0时，如图①、②，$BC=4-（-\frac{1}{3}{m^2}-m+4）=\frac{1}{3}{m^2}+m$．$d=2（\frac{1}{3}{m^2}+m+2）=\frac{2}{3}{m^2}+2m+4$． 
ii）当-3＜m＜0时，如图③，$BC=（-\frac{1}{3}{m^2}-m+4）-4=-\frac{1}{3}{m^2}-m$．$d=2（-\frac{1}{3}{m^2}-m+2）=-\frac{2}{3}{m^2}-2m+4$．
（4）如图④⑤，点C、D在抛物线上时，由CD=2可知对称轴为：x=±1，即m=±1；
如图⑥⑦，点C、E在抛物线上时，由B（0，4）和CD=2得：E（-2，4）
则4=-$\frac{1}{3}$（-2-m）2+（-m+4），解得：$m=\frac{{-7+\sqrt{33}}}{2}$、$m=\frac{{-7-\sqrt{33}}}{2}$． 
综上所述：m=1、m=-1、$m=\frac{{-7+\sqrt{33}}}{2}$、$m=\frac{{-7-\sqrt{33}}}{2}$．
点评 本题是二次函数与一次函数及矩形的综合题，考查了函数与两坐标的交点坐标，考查了二次函数的顶点式和矩形的性质，本题的解题思路为：利用点B的坐标和矩形的边长CD=2可以表示出点E的坐标或列式计算．
如图，四边形ABCD中，AC、BD交于O点且AC⊥BD，AB、CD所在的直线为l1、l2，l1∥l2．若AC=8，BD=6，固定线段AC不动，线段BD在l1、l2之间平移．