题目内容

9．如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

分析 （1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积；
（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，-m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；
（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．

解答 解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，
得  $\left\{\begin{array}{l}{0=16a+4b}\\{3=a+b}\end{array}\right.$          解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线表达式为：y=-x2+4x；
（2）点C的坐标为（3，3），
又∵点B的坐标为（1，3），
∴BC=2，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=3；                     
（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D，
设点P（m，-m2+4m），
根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2-4m，PD=m-1，
∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD-S△BPD，
6=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）（m2-4m）-$\frac{1}{2}$（m-1）（3+m2-4m），
∴3m2-15m=0，
m1=0（舍去），m2=5，
∴点P坐标为（5，-5）．                          
（4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，
则△CBM≌△MHN，
∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，
∴M（1，2），N（2，0），
由勾股定理得：MC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，
得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴EM=CD=5，MD=NE=2，
由勾股定理得：CM=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴S△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{29}$×$\sqrt{29}$=$\frac{29}{2}$；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，
同理得：CN=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴S△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{34}$×$\sqrt{34}$=17；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴S△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形，如图6；
综上所述：△CMN的面积为：$\frac{5}{2}$或$\frac{29}{2}$或17或5．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质；本题的一般思路为：①根据函数的表达式设出点的坐标，利用面积公式直接表示或求和或求差列式，求出该点的坐标；②利用等腰直角三角形的两直角边相等，构建两直角三角形全等，再利用全等性质与点的坐标结合解决问题．

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（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式．
（3）设矩形BCDE的周长为d（d＞0），求d与m之间的函数表达式．
（4）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．

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