Question

2．已知二次函数的图象与直线y=x+m交于x轴上一点A（-1，0），二次函数图象的顶点为C（1，-4）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴交于另一点B，与直线y=x+m交于另一点D，求
△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）设二次函数的解析式为y=a（x-1）²-4，把A（-1，0）代入求得a即可；
（2）令y=x²-2x-3=0，解方程可求得B点坐标，即可求得AB，把A（-1，0）代入y=x+m求得y=x+1，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$求得D点坐标，根据三角形面积公式即可求得结论．

解答 解：（1）如图，设二次函数的解析式为y=a（x-1）²-4，
把A（-1，0）代入上式得：0=a（x-1）²-4，
解得：a=1，
∴这个二次函数的解析式为：y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；

（2）令y=x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），
把A（-1，0）代入y=x+m得：-1+m=0，
解得：m=1，
∴y=x+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=5}\end{array}\right.$，
∴D（4，5），
∴AB=4，
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×4×5=10．

点评 本题主要考查了用顶点式求二次函数解析式，抛物线与坐标轴，直线的交点问题，三角形面积公式，熟知抛物线与坐标轴，直线的交点的求法是解题的关键．