Question

10．如图，抛物线y=-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{17}{4}$x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动．过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）当线段MN最长时，求出△ABN的面积；
（4）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM、BN．当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象上点的坐标特征求出点A、点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的函数关系式；
（2）分别求出点M和点N的纵坐标，得到s与t的函数关系式；
（3）根据二次函数的性质求出MN的最大值，根据三角形的面积公式计算即可；
（4）根据平行四边形的判定和菱形的判定定理解答．

解答 解：（1）x=0时，y=1，
∴点A的坐标为：（0，1），
∵BC⊥x轴，垂足为点C（3，0），
∴点B的横坐标为3，
当x=3时，y=$\frac{5}{2}$，
∴点B的坐标为（3，$\frac{5}{2}$），
设直线AB的函数关系式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
则直线AB的函数关系式y=$\frac{1}{2}$x+1；
（2）当x=t时，y=$\frac{1}{2}$t+1，
∴点M的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t+1），
当x=t时，y=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1，
∴点N的坐标为（t，-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1），
s=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{17}{4}$t+1-（$\frac{1}{2}$t+1）=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t（0≤t≤3）；
（3）s=-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t=-$\frac{5}{4}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{45}{16}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，MN有最大值$\frac{45}{16}$，
△ABN的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{45}{16}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{45}{16}$=$\frac{135}{32}$；
（4）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，
∴-$\frac{5}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t=$\frac{5}{2}$，
解得t₁=1，t₂=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形，
①当t=1时，MP=$\frac{3}{2}$，PC=2，
∴MC=$\frac{5}{2}$=MN，此时四边形BCMN为菱形，
②当t=2时，MP=2，PC=1，
∴MC=$\sqrt{5}$≠MN，此时四边形BCMN不是菱形．

点评 本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、菱形的判定，正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键，注意菱形的判定定理的灵活运用．