Question

【题目】当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m， ）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=-x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC= ，AM=4 ，求△MBC的面积．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵m+n=mn且m，n是正实数，
∴ +1=m，即 =m-1，
∴P（m，m-1），
即“完美点”P在直线y=x-1上，
∵点A（0，5）在直线y=-x+b上，
∴b=5，
∴直线AM：y=-x+5，
∵“完美点”B在直线AM上，
∴由
解得 ，
∴B（3，2），
∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=-x，而直线y=x-1与直线y=x平行，直线y=-x+5与直线y=-x平行，
∴直线AM与直线y=x-1垂直，
∵点B是直线y=x-1与直线AM的交点，
∴垂足是点B，
∵点C是“完美点”，
∴点C在直线y=x-1上，
∴△MBC是直角三角形，
∵B（3，2），A（0，5），
∴AB=3 ，
∵AM=4 ，∴BM= ，
又∵CM= ，
∴BC=1，
∴S△MBC= BMBC= ．
【考点精析】本题主要考查了一次函数的性质的相关知识点，需要掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小才能正确解答此题．