Question

20．如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{5}}{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{41}}{2}$

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质可得点D是AB的中点，然后根据三角形中位线定理可得DP=$\frac{1}{2}$BG，然后利用两点之间线段最短就可解决问题．

解答 解：连接BG，如图．
∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=3．
又∵CD=4，
∴BC=5．
∵E是高线CD的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴CG=CE=2．
根据两点之间线段最短可得：BG≤CG+CB=2+5=7．
当B、C、G三点共线时，BG取最大值为7．
∵P是AG中点，D是AB的中点，
∴PD=$\frac{1}{2}$BG，
∴DP最大值为$\frac{7}{2}$．
故选A．

点评 本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将DP转化为BG是解决本题的关键．