Question

5．用[x]表示不超过x的最大整数，如[-3.4]=-4，[3]=3，[π]=3，…
（1）求证：[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；
（2）解方程：[$\frac{6x+5}{8}$]=$\frac{15x-7}{5}$．

Answer 1

分析 （1）分别从当0≤x-[x]＜$\frac{1}{2}$时与当$\frac{1}{2}$≤x-[x]＜1时，去分析求解即可求得答案；
（2）由题意变形的：0≤$\frac{6x+5}{8}$-$\frac{15x-7}{5}$＜1①；$\frac{15x-7}{5}$=A（A为整数）②；然后分别将①②，即可得0.9≤$\frac{5A+7}{15}$＜$\frac{121}{90}$，继而求得A的值，则可求得x的值．

解答 （1）证明：当0≤x-[x]＜$\frac{1}{2}$时，[x+$\frac{1}{2}$]=[x]，[2x]=2[x]，
∴[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；
当$\frac{1}{2}$≤x-[x]＜1时，[x+$\frac{1}{2}$]=[x]+1，[2x]=2[x]+1，
∴[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；
综上，[x]+[x+$\frac{1}{2}$]=[2x]；

（2）解：由题意变形的：0≤$\frac{6x+5}{8}$-$\frac{15x-7}{5}$＜1①；$\frac{15x-7}{5}$=A（A为整数）②；
分别由①变形进行不等式计算得：0.9≤x＜$\frac{121}{90}$③；
由②变形进行变形得：x=$\frac{5A+7}{15}$④；
把③中x的代换④中，0.9≤$\frac{5A+7}{15}$＜$\frac{121}{90}$，
化简变形的：1.3≤A＜$\frac{79}{30}$，
∴A=2，
∴x=$\frac{17}{15}$．

点评 此题考查了取整函数的性质．注意利用[x]≤x＜[x]+1可得到关于x的不等式，并求出x的可能值．