Question

6．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，连接EF
（1）如图1，求证：∠BED=∠AFD；
（2）求证：BE²+CF²=EF²；
（3）如图2，当∠ABC=45°，若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

Answer 1

分析 （1）利用四边形AEDF的内角和为360°，可求得∠AFD+∠AED=180°，再利用邻补角可得∠BED+∠AED=180°，根据等角的补角相等可求得∠BED=∠AFD；
（2）延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，利用SAS得到三角形BED与三角形CPD全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=CP，再利用SAS得到撒尿性EDF和三角形PDF全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=FP，利用等角的余角相等得到∠FCP为直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；
（3）连接AD，由AB=AC，且D为BC的中点，利用三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，再由三角形ABC为等腰直角三角形，得到一对角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AD=CD，利用ASA得到三角形AED与三角形CFD全等，借助（2）的结论求出EF，再求出EF边上的高即可得出结论．

解答 （1）证明：
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠AFD+∠AED=180°，
∵∠BED+∠AED=180°，
∴∠BED=∠AFD；
（2）证明：如图1，延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，

在△BED和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=PD}\\{∠EDB=∠PDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE=CP，∠B=∠CPD，
在△EDF和△PDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DP}\\{∠EDF=∠PDE=90°}\\{DF=DF}\end{array}\right.$
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF=FP，
∵∠B=∠DCP，∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，
在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF²+CP²=PF²，
∵BE=CP，PF=EF，
∴EF²=BE²+CF²；
（3）如图2，连接AD，

∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FCD}\\{AD=DC}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF=5，DE=DF，
即△EDF为等腰直角三角形，
∴EF边上的高为$\frac{1}{2}$EF
由（2）知，EF²=BE²+CF²=144+25=169，
∴EF=13
则S_△DEF=$\frac{1}{2}$EF•$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{4}$EF²=$\frac{169}{4}$．

点评 本题为三角形的综合应用，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等，构造全等三角形、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．