Question

2．已知：如图，直角三角形BCA中，∠BCA=90°，BC=a，CA=b，AB=c，请你用两种方法证明：a²+b²=c²．

Answer 1

分析 方法1：根据“4个小直角三角形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积”进行证明．
方法2：首先连结AD，过点A作DE边上的高BF，则AF=a-b，表示出S_{五边形BCAED}，进而得出答案．

解答 解：方法1：如图所示：

4S_△ABC=S_大正方形-S_小正方形，即4×$\frac{1}{2}$ab=（a+b）²-c²，
所以a²+b-c²=0，即a²+b²=c²．
方法2：连结AD，过点A作DE边上的高AF，则AF=a-b．

∵S_{五边形BCAED}=S_△ACB+S_△ABE+S_△BDE=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$ab，
又∵S_{五边形ACBED}=S_△ACB+S_△ABD+S_△ADE=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$b（a-b），
∴$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$b（a-b），
∴a²+b²=c²．

点评 本题考查了勾股定理的应用，解题时是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．