Question

3．如图，点A₁（1，1）在直线y=x上，过点A₁分别作y轴、x轴的平行线交直线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x于点B₁，B₂，过点B₂作y轴的平行线交直线y=x于点A₂，过点A₂作x轴的平行线交直线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x于点B₃，…，按照此规律进行下去，则点A_n的横坐标为$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由点A₁的横坐标可求出点B₁的坐标，进而可得出A₁B₁、A₁B₂的长度，由1+A₁B₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$可得出点A₂、B₂的坐标，同理可求出点A₃、A_n的坐标，此题得解．

解答 解：∵A_nB_n+1∥x轴，
∴tan∠A_nB_n+1B_n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
当x=1时，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴点B₁的坐标为（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴A₁B₁=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A₁B₂=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1．
∵1+A₁B₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴点A₂的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），点B₂的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，1），
∴A₂B₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1，A₂B₃=$\frac{{A}_{2}{B}_{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴点A₃的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），点B₃的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
同理，可得：点A_n的坐标为（$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{n-1}$，$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{n-1}$）．
故答案为：$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{n-1}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型中点的坐标，通过解直角三角形找出点A₂、A₃、…、A_n的坐标是解题的关键．