Question

15．如图，矩形ABCD的一边BC与⊙O相切于G，DC=6，且对角线BD经过圆心O，AD交⊙O于点E，连接BE，BE恰好是⊙O的切线，已知点P在对角线BD上运动，若以B、P、G三点构成的三角形与△BED相似，则BP=4或12．

Answer 1

分析 连接OE、OG、DG，如图，GO的延长线交AD于H，利用切线的性质得到BG=BE，OB平分∠GBE，OG⊥BC，则GH⊥AD，根据垂径定理得到EH=DH，易得四边形CDHG为矩形，再证明BE=BG=DE，所以AE=CG，利用三角函数的定义可计算出∠ABE=30°，从而得到∠EBD=∠CBD=30°，于是BC=6$\sqrt{3}$，BD=12，BE=DE=BG=4$\sqrt{3}$，然后根据相似三角形的判定方法，当$\frac{PB}{EB}$=$\frac{BG}{BD}$时，△PBG∽△EBD或当$\frac{PB}{BD}$=$\frac{BG}{BE}$时，△PBG∽△DBE，从而利用相似比求出对应的BP的值．

解答 解：连接OE、OG、DG，如图，GO的延长线交AD于H，
∵BE和BG为⊙O的切线，
∴BG=BE，OB平分∠GBE，OG⊥BC，
而BC∥AD，
∴GH⊥AD，
∴EH=DH，
易得四边形CDHG为矩形，
∴CG=DH，
∴DE=2CG，
∵∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
∴BE=BG=DE，
∴AE=CG，四边形BGDE为菱形，
在Rt△ABE中，∵sin∠ABE=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABE=30°，
∴∠EBD=∠CBD=30°，
∴BC=6$\sqrt{3}$，BD=12，
∴BE=DE=BG=4$\sqrt{3}$，
当$\frac{PB}{EB}$=$\frac{BG}{BD}$时，△PBG∽△EBD，即$\frac{PB}{4\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{12}$，解得PB=4；
当$\frac{PB}{BD}$=$\frac{BG}{BE}$时，△PBG∽△DBE，即$\frac{PB}{12}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$，解得PB=12，
综上所述，BP的长为4或12．
故答案为4或12．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质、切线的性质和垂径定理．