Question

17．观察下列各式：①$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$； ②$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$；③$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$；…
①当n≥2时，你发现了什么规律？用含有n的式子表示为$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$．
②请用所学数学知识证明你的结论．

Answer 1

分析 利用二次根式的性质化简求出即可，进而得出规律求出答案．

解答 解：$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$； ②$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$；③$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$；…
①当n≥2时，用含有n的式子表示为$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$．
②$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$
=$\sqrt{\frac{n（{n}^{2}-1）}{{n}^{2}-1}+\frac{n}{{n}^{2}-1}}$
=$\sqrt{\frac{n（{n}^{2}-1+1）}{{n}^{2}-1}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{2}•n}{{n}^{2}-1}}$
=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$．
故答案为：$\sqrt{n+\frac{n}{{n}^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}-1}}$．

点评 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．