Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=8．点D在边AB上（点D不与点A、B重合），连接CD，作∠CDE=45°，DE与边BC交于点E．
（1）求证：△CAD∽△DBE．
（2）当AD=2时，求CE的长．
（3）当△CDE为等腰三角形时，直接写出DB的长．

Answer 1

分析 （1）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，可求得∠A=∠B=45°，又由∠CDE=45°，利用平角与三角形内角和定理，求得∠ADC=∠DEB，继而证得：△CAD∽△DBE；
（2）由AD=2，可求得BD的长，由等腰直角三角形的性质，可求得CA与CB的长，然后由△CAD∽△DBE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长；
（3）分别从CD=DE与CE=DE去分析求解即可求得答案．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
又∵∠ADC=180°-45°-∠EDB，∠DEB=180°-45°-∠EDB，
∴∠ADC=∠DEB，
∴△CAD∽△DBE；

（2）解：∵∠ACB=90°，CA=CB，AB=8．
∴CA=CB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，DB=AB-AD=8-2=6，
又∵△CAD∽△DBE，
∴$\frac{CA}{DB}=\frac{AD}{BE}$．
即$\frac{{4\sqrt{2}}}{6}=\frac{2}{BE}$，
∴$BE=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴$CE=CB-BE=4\sqrt{2}-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$；

（3）解：∵∠DCE＜ACB，
∴CD≠CE，
当CD=DE时，
∵△CAD∽△DBE，
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CD}{DE}$=1，
∴DB=AC=4$\sqrt{2}$；
如图，当DE=CE时，∠ECD=∠EDC=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ECD=45°，
∵AC=BC，
∴DB=AD=$\frac{1}{2}$AB=4．
∴当△CDE为等腰三角形时，DB=4$\sqrt{2}$或4．

点评 此题属于相似三角形的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．