Question

15．已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，∠EAF=135°．证明：BE+DF=EF．

Answer 1

分析 延长DC到G点，使DG=BE，连接AG，GE，利用SAS可以证明△AEB≌△AGD，可得AE=AG，∠DAG=∠EAB，再利用SAS可以证明△AEF≌△AGF，得出GF=EF，可证结论．

解答 证明：如图，延长DC到G点，使DG=BE，连接AG，GE，
在△AEB和△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠ABE=∠ADG=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，
∵∠EAF=135°，∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠FAD=135°，
∴∠FAG=135°，
在△AEF与△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF=135°}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∴BE+DF=EF．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．关键是作出全等三角形，再利用全等三角形的性质解题．