Question

3．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，求证：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形．

Answer 1

分析 ①由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；
②由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；
③由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；

解答 证明：①∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
②∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
③在△ABP和△DBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠BDQ}\\{AB=DB}\\{∠ABP=∠DBQ=60°}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形．