Question

11．设f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R），求函数f（x）的最小值g（t）的解析式．

Answer 1

分析 f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，即抛物线开口向上，对称轴为x=2，最小值为-8，过点（0，-4），通过数形结合得出分段函数，再作出其图象即可．

解答 解：f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，即抛物线开口向上，对称轴为x=2，最小值为-8，过点（0，-4），
结合二次函数的图象可知：
当t+1＜2，即t＜1时，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t+1处取最小值f（t+1）=t²-2t-7，
当t+1≥2t≤2 
，即1≤t≤2时，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=2处取最小值-8，
当t＞2时，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t处取最小值f（t）=t²-4t-4，
即最小值为g（t），由以上分析可得，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-7，t＜1}\\{-8，1≤t≤2}\\{{t}^{2}-4t-4\\;t＞2\\;}\end{array}\right.$

点评 考查二次函数单调性和对称轴的关系，以及根据单调性及抛物线的顶点求最值的方法．