Question

10．在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，AC=2，AD=4．
（Ⅰ）如图①，求CD，AB的长；
（Ⅱ）如图②，过点C作CE∥AD，过点D作DE⊥BC，DE与CE相交于点E，求点D到CE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在Rt△ACD中，根据勾股定理可求CD，根据中点的定义可求BC，再在Rt△ACB中，根据勾股定理可求AB；
（Ⅱ）先根据平行四边形的判定得到四边形ACED是平行四边形，可求DE，CE，再根据三角形面积公式可求点D到CE的距离．

解答 解：（Ⅰ）在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4$\sqrt{3}$，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{13}$；
（Ⅱ）∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=2，CE=AD=4，
∴点D到CE的距离为2$\sqrt{3}$×2÷2×2÷4=$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．