Question

18．如图，在已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，把△ABC绕点C顺时针旋转．
（1）如果点B落在边AC上，得△A₁B₁C，求∠AB₁A₁的度数；
（2）如果点B落在边AB上，得△A₂B₂C那么AB与A₂C平行吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，联结AA₂，试说明△AB₂A₂≌△B₂AC的理由．

Answer 1

分析 （1）先根据等腰三角形的性质以及旋转的性质，求得∠A₁B₁C=∠B=67.5°，再根据平角的定义求得∠AB₁A₁的度数；
（2）先根据等腰三角形的性质以及旋转的性质，求得∠A₂CB₂=∠ACB=67.5°，进而得到∠CB₂B=∠B=67.5°，以及∠B₂CB=45°，根据角的和差关系得到∠BCA₂=112.5°，从而得出∠B+∠BCA₂=180°，进而判定AB∥A₂C；
（3）先根据等腰三角形的性质以及旋转的性质，求得∠BAA₂+∠B=180°，得出AA₂∥BC，再根据AB∥A₂C，判定四边形ABCA₂是平行四边形，进而得出AA₂=BC，再根据CB=CB₂，可得AA₂=B₂C，最后根据SAS即可判定△AB₂A₂≌△B₂AC．

解答 解：（1）如图所示，∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=67.5°，
由旋转可得，∠A₁B₁C=∠B=67.5°，
∴∠AB₁A₁=180°-∠A₁B₁C=112.5°；


（2）AB∥A₂C．
理由：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=67.5°，
由旋转可得，CB=CB₂，∠A₂CB₂=∠ACB=67.5°，
∴∠CB₂B=∠B=67.5°，
∴旋转角∠B₂CB=45°，
∴∠BCA₂=45°+67.5°=112.5°，
∴∠B+∠BCA₂=180°，
∴AB∥A₂C；


（3）如图所示，连接AA₂，
由（2）可得∠CB₂B=∠B=67.5°，
∴∠AB₂C=180°-67.5°=112.5°，
由旋转可得，∠ACA₂=∠B₂CB=45°，AC=A₂C，
∴△ACA₂中，∠CAA₂=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACA₂）=67.5°，
∴∠B₂AA₂=∠BAC+∠CAA₂=45°+67.5°=112.5°，
∴∠BAA₂+∠B=112.5°+67.5°=180°，且∠B₂AA₂=∠AB₂C，
∴AA₂∥BC，
又∵AB∥A₂C，
∴四边形ABCA₂是平行四边形，
∴AA₂=BC，
又∵CB=CB₂，
∴AA₂=B₂C，
在△AB₂A₂和△B₂AC中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{2}={B}_{2}C}\\{∠{B}_{2}A{A}_{2}=∠A{B}_{2}C}\\{A{B}_{2}={B}_{2}A}\end{array}\right.$，
∴△AB₂A₂≌△B₂AC（SAS）．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定以及平行四边形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握旋转的性质：旋转前、后的图形全等．解题时注意：平行四边形的对边相等．