Question

17．探究：2²-2¹=2×2¹-1×2¹=2^{（1　　）}
2³-2²=2×2²-1×2²=2^（2　）
2⁴-2³=2×2³-1×2³=2^（3　）
…
（1）请仔细观察，写出第4个等式；
（2）请你找规律，写出第n个等式；
（3）计算：2⁰+2¹+2²+…+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶-2²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 （1）根据幂的运算方法，可得2¹-2⁰=2-1=1=2⁰，2²-2¹=4-2=2=2¹，2³-2²=8-4=4=2²，据此解答即可；
（2）根据（1）中式子的规律，可得2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ．
（3）设s=1+2+2²+…+2²⁰¹⁶ ①，得2s=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁷ ②，②-①得到s=2²⁰¹⁷-1，代入即可得．

解答 解：（1）探究：2²-2¹=2×2¹-1×2¹=2¹；
2³-2²=2×2²-1×2²=2²；
2⁴-2³=2×2³-1×2³=2³；
…
∴2⁵-2⁴=2×2⁴-1×2⁴=2⁴，
故答案为：1、2×2²-1×2²、2、2×2³-1×2³、3；

（2）由（1）知，第n个等式为：2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2×2ⁿ-1×2ⁿ=2ⁿ；

（3）设s=1+2+2²+…+2²⁰¹⁶ ①，
∴2s=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁷ ②，
由②-①：s=2²⁰¹⁷-1，
则原式=2²⁰¹⁷-1-2²⁰¹⁷=-1．

点评 此题主要考查了数字变化规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ成立．