Question

8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，且点为N，则DM的长为（　　）

• A． $\frac{58}{7}$
• B． 8
• C． $\frac{40}{7}$
• D． 2$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=6，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=7，由勾股定理列方程即可求出结果．

解答 解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=6，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=3，
∴DE=7，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=7，MN=MG，
∴CM=10-3-MN=7-MN，
在R_t△DMC中，DM²=CD²+CM²，
∴（7+NM）²=（7-NM）²+6²，
∴NM=$\frac{9}{7}$，
∴DM=7+$\frac{9}{7}$=$\frac{58}{7}$．
故选A．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．