Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上一动点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．

（1）求证：线段AB为⊙P的直径；
（2）求证：OA•OB是定值；
（3）在图2中，直线y=2x与反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象交于点Q，设直线y=2x与反比例函数y=

OA•OB

x

（x＞0）图象交于点E，以Q为圆心，QO为半径的圆与坐标轴分别交于点C、D，判断△CDE的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；
（2）分别表示出AO，BO的长，结合反比例函数的性质xy=k，进而得出答案；
（3）首先求出Q点坐标，进而得出EQ=OQ，则点E在⊙Q上，得出∠CED=90°，进而得出答案．

解答：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，
∴AB是⊙P的直径．

（2）证明：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
∵点P是反比例函数y=

12

x

（x＞0）图象上一点，∴mn=12．
如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴BO•OA=2n×2m=4mn=48．
；

（3）解：

如图答题图2，连接CE，DE，
∵Q为直线y=2x与y=

12

x

的图象交点，
∴2x=

12

x

（x＞0），
解得：x=

6

，则点Q的坐标为（

6

，2

6

），
∵E为直线y=2x与y=

OA•OB

x

的图象交点，
∴2x=

48

x

（x＞0），
解得x=2

6

，则点E的坐标为（2

6

，4

6

），
∴OQ=

30

，OE=2

30

，
∴EQ=OQ，
∴点E在⊙Q上，
由（1）可得CD为⊙Q的直径，
∴∠CED=90°，
∴△CED是直角三角形．

点评：本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义．