Question

平面直角坐标系中，以点P（2，a）为圆心的⊙P与y轴相切，直线y=x与⊙P相交于点A、B，且AB的长为2

3

，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题,等腰三角形的性质,勾股定理,矩形的判定与性质,垂径定理,切线的性质,特殊角的三角函数值

专题：计算题

分析：设⊙P与y轴相切于点C，连接PC，则有PC⊥OC，根据点P的坐标可得⊙P的半径PC为2，由于满足条件的点P可能在直线y=x的上方，也可能在直线y=x的下方，因此需分两种情况讨论．当点P在直线y=x上方时，如图1，连接CP并延长交直线y=x于点E，则有CE=OC．过点P作PD⊥AB于D，由垂径定理可求出AD，在Rt△ADP中，运用勾股定理可求出PD，在Rt△PDE中，运用三角函数可求出PE，就可求出a的值；当点P在直线y=x下方时，如图2，连接PC，过点P作PD⊥AB于D，过点P作x轴的垂线交x轴与点M，交AB于点N，
同理可得：OM=MN，PD=1，PN=

2

．易证四边形PCOM是矩形，从而有OM=PC=2，OC=PM，进而可以求出a的值，问题得以解决．

解答：解：设⊙P与y轴相切于点C，连接PC，则有PC⊥OC．
∵点P的坐标为（2，a），∴PC=2．
①若点P在直线y=x上方，如图1，
连接CP并延长交直线y=x于点E，则有CE=OC．
∵CE⊥OC，CE=OC，
∴∠COE=∠CEO=45°．
过点P作PD⊥AB于D，
由垂径定理可得：AD=BD=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

．
在Rt△ADP中，
PD=

PA2-AD2

=

22-( 3 )2

=1．
在Rt△PDE中，
sin∠PED=

PD

PE

=

1

PE

=

2

2

，
解得：PE=

2

．
∴OC=CE=CP+PE=2+

2

．
∴a=2+

2

．
②若点P在直线y=x下方，如图2，
连接PC，过点P作PD⊥AB于D，
过点P作x轴的垂线交x轴与点M，交AB于点N，
同理可得：OM=MN，PD=1，PN=

2

．
∵∠PCO=∠COM=∠PMO=90°，
∴四边形PCOM是矩形．
∴OM=PC=2，OC=PM．
∴OC=PM=MN-PN=OM-PN=2-

2

．
∴a=2-

2

．
故答案为：2+

2

或2-

2

．

点评：本题考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，还考查了分类讨论的思想，是一道易错题．