Question

如图，在矩形ABCD，AB=

2

BC，BE平分∠ABC，交CD于E点，AF⊥BE于点F，连接CF交AD于H点，连接AE交CH于G，则下列结论：
（1）AG=FG；（2）若BC=

2

，则DH=2

2

-2；
其中正确的个数有

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）先求得△ABF和△BCE是等腰直角三角形，得出BE=

2

BC，AB=

2

AF=

2

BF，结合已知得出△ABE和△FBC是等腰三角形，进而求得∠GAF=∠GFA=22.5°，即可证得AG=FG；
（2）根据已知得出AF=BF=BC=

2

，AB=DC=2，进而求得EF=2-

2

，再求得∠DCH=∠FAE=22.5°，由于∠HDC=∠EFA=90°，从而证得△HDC∽△EFA，根据相似三角形对应边成比例即可求得DH．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠BEC=45°，
∵AF⊥BE，
∴△ABF和△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=

2

BC，AB=

2

AF=

2

BF，
∵AB=

2

BC，
∴AF=BF=BC，AB=BE，
∴△ABE和△FBC是等腰三角形，
∴∠BAE=∠BEA=∠BFC=∠BCF=67.5°，
∴∠GAF=67.5°-45°=22.5°，∠GFA=∠FCB+∠FBC-90°=67.5°+45°-90°=22.5°，
∴∠GAF=∠GFA，
∴AG=FG，故（1）正确；

（2）∵AB=

2

BC，BC=

2

，
∴AF=BF=BC=

2

，AB=DC=2，
∴BE=AB=2，
∴EF=2-

2

，
∵∠BCF=67.5°，
∴∠DCH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠DCH=∠FAE，
∵∠HDC=∠EFA=90°，
∴△HDC∽△EFA，
∴

DH

EF

=

DC

AF

，
即

DH

2- 2

=

2

2

，解得，DH=2

2

-2，故（2）正确；
故答案为：两个．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，通过角的度数相等求得角相等是本题的关键．