Question

11．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．
（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
（2）请在下面的A，B两题中任选一题解答．
A：如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由；
B：如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．

我选择：A．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，根据平行线的性质得到∠DAE=∠B=45°，根据等腰三角形的性质、等量代换证明即可；
（2）A、根据同角的余角相等得到∠BDE=∠ADP，证明△DEB≌△DAP，根据全等三角形的性质定理证明结论；
B、与A的证明方法类似，延长AB至F，连接DF，使DF=DA，证明△DFB≌△DAP即可．

解答 解：（1）DE⊥DA．
证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵MN∥BC，
∴∠DAE=∠B=45°，
∵DA=DE，
∴∠DEA=∠DAE=45°，
∴∠ADE=90°，即DE⊥DA；
（2）A、DB=DP．
证明：∵DP⊥DB，
∴∠BDE+∠EDP=90°，
∵DE⊥DA，
∴∠ADP+∠EDP=90°，
∴∠BDE=∠ADP，
∵∠DEA=∠DAE=45°，
∴∠BED=135°，∠PAD=135°，
∴∠BED=∠PAD，
在△DEB和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠PDA}\\{∠BED=∠PAD}\\{DE=DA}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△DAP，
∴DB=DP．
B、DB=DP．
证明：如图3，延长AB至F，连接DF，使DF=DA，
由（1）得，∴∠DFA=∠DAF=45°，
∴∠ADF=90°，又DP⊥DB，
∴∠FDB=∠AMP，
∵∠BAC=90°，∠DAF=45°，
∴∠PAM=45°，
∴∠BFD=∠PAM，
在△DFB和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDB=∠AMP}\\{∠BFD=∠PAM}\\{DF=DA}\end{array}\right.$，
∴△DFB≌△DAP，
∴DB=DP．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等腰直角三角形的两锐角都是45°、两直角边相等、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．