Question

如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，以AB为直径作圆⊙O，动点P、Q分别同时从A、C出发，点P以1cm/s的速度向D移动，点Q以2cm/s的速度向B移动，点Q移动到B点时停止，点P也随之停止．设运动时间为ts，求：
（1）当PQ⊥BC时，求t的值；
（2）如图2，当PQ与⊙O相切时，求t的值；
（3）连接DQ，当△PDQ为等腰三角形时，直接写出t的所有值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由AP+CQ=6时得出t的值即可．
（2）设运动时间为ts，由AB²+（AP-QB）²=（AP+QB）²，列出t方程求解．
（3）分三种情况讨论：①当QD=PD时，②当DQ=AQ时，③当AQ=PD时，分别列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵PQ⊥BC，
∴AP+CQ=6，
设运动时间为ts，由有AP=t，CQ=2t，
∴t+2t=6，解得t=2；

（2）如图1，PG与圆相切于点F，设运动时间为ts，

∵PA与PF是⊙O的切线，QB与QF是⊙O的切线，
∴AP=PF，QB=QF，
∴AP=PF=t，QB=QF=6-2t，
∴AB²+（AP-QB）²=（AP+QB）²，即4²+（3t-6）²=（6-t）²，
解得t=1或2．
∴PQ与⊙O相切时，求t的值为1或2；

（3）①当QD=PD时，

(2t)2+42

=6-t，解得t=

4 6

3

-2或-

4 6

3

-2（舍去）．
②当DQ=PQ时，

(2t)2+42

=

(6-2t-t)2+42

，解得t=

6

5

或6（舍去），
③当PQ=PD时，

(6-2t-t)2+42

=6-t，解得t=1或2．
综上所述t=

4 6

3

-2或

6

5

或1或2时，△PDQ为等腰三角形．

点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及圆的知识，方程及等腰三角形的性质．难点是第三小问，解题的关键是分三种情况讨论．