题目内容

15．某企业接到一批零件的加工任务，要求在20天内完成，这批零件的出厂价为每个6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，在6天的培训期内，新工人小亮第x天能加工80x个零件，培训后小亮第x天内加工的零件个数为（50x+200）个．
（1）小亮第几天加工零件数量为650个？
（2）如图所示，设第x天每个零件的加工成本是P元，P与x 之间的函数关系可用图中的函数图象来刻画，若小亮第x 天创造的利润为w元，求出w与x之间的函数表达式．
（3）试确定第几天的生产利润最大？最大利润是多少？（利润=出厂价-进价）

分析 （1）把y=650代入y=50x+200，解方程即可求得；
（2）先根据图象求得成本P与x之间的关系式，再根据利润等于出厂价减去成本价，整理即可得到w与x之间的函数表达式；
（3）根据一次函数的增减性和二次函数的增减性分别求出（2）中所求w的最大值，比较即可．

解答 解：（1）设小亮第n天加工零件数量为650个，
由题意可知：50n+200=650，
解得n=9．
答：小亮第9天加工零件数量为650个；

（2）由图象得，当0≤x≤12时，P=5.2；
当12＜x≤20时，设P=kx+b，
把点（12，5.2），（20，6）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{12k+b=5.2}\\{20k+b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=0.1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以P=0.1x+4．
①0≤x≤6时，w=（6-5.2）×80x=64x；
②6＜x≤12时，w=（6-5.2）×（50x+200）=40x+160；
③12＜x≤20时，w=（6-0.1x-4）×（50x+200）=-5x2+80x+400；

（3）①0≤x≤6时，w=64x；
当x=6时，w最大=384（元）；
②6＜x≤12时，w=40x+160；
当x=12时，w最大=640（元）；
③12＜x≤20时，w=-5x2+80x+400=-5（x-8）2+720；
∵a=-5＜0，x是整数，
∴当x=13时，w最大=599（元）；
综上，当x=12时，w有最大值，最大值为640．
答：第12天的利润最大，最大利润是640元．

点评 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．

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