Question

3．已知1+a³+a⁶+…+a²⁰¹³=0，求1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁵的值．

Answer 1

分析 把每三项作为一组，利用分组分解法得到1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁵=（1+a+a²）+a³（1+a+a²）+a⁶（1+a+a²）+…+a²⁰¹³（1+a+a²）=（1+a+a²）（1+a³+a⁶+…+a²⁰¹³），再将1+a³+a⁶+…+a²⁰¹³=0代入，即可求解．

解答 解：∵1+a³+a⁶+…+a²⁰¹³=0，
∴1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁵
=（1+a+a²）+a³（1+a+a²）+a⁶（1+a+a²）+…+a²⁰¹³（1+a+a²）
=（1+a+a²）（1+a³+a⁶+…+a²⁰¹³）
=0．

点评 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．