Question

4．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠DAC的平分线AE交CD于点E，过点D作DM⊥AE于F，交AC于点M，共过点A作AN⊥AE交CB延长线于点N．
（1）若AD=3，求△CAN的面积；
（2）求证：AN=DM+2EF．

Answer 1

分析 （1）通过计算得到∠N=∠NAC=67.5°，所以AC=CN=3$\sqrt{2}$，根据三角形面积公式即可解决问题．
（2）在FA上截取FH=FE，连接DH，先证明△ADH≌△DCM，得AH=DM，再证明△ABN≌△ADE，得AN=AE，由此即可解决问题．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=3，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠DC=90°，∠CAB=∠CAD=∠ACB=45°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠EAC=22.5°，
∵AE⊥AN，
∴∠NAE=90°，∠NAC=90°-∠CAE=67.5°，∠N=180°-∠NAC-∠CN=67.5°，
∴∠N=∠NAC
∴CA=CN=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_△ACN=$\frac{1}{2}$×CN×AB=$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{2}$×3=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．
（2）在FA上截取FH=FE，连接DH．
∵AE⊥DM，
∴DH=DE，
∴∠DHE=∠DEH=90°-∠DAE=67.5°，
∴∠MDC=∠HDF=90°-∠DEA=22.5°，
∴∠ADH=90°-∠HDE=45°，
∴∠ADH=∠MCD，∠DAH=∠MDC，
在△ADH和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAH=∠CDM}\\{∠ADH=∠DCM}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△DCM，
∴AH=DM，
在△ABN和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAB=∠DAE}\\{AB=AD}\\{∠ABN=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ADE，
∴AN=AE，
∴AN=AH+HE=DM+2EF．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是通过计算求出角的度数，发现相等的角，学会添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．