题目内容
1．
如图，抛物线y=-x2+6x与x轴交于O，A两点，与直线y=2x交于O，B两点．点P在线段OA上以每秒1个单位的速度从点O向终点A运动，作EP⊥x轴交直线OB于E；同时在线段OA上有另一个动点Q，以每秒1个单位的速度从点A向点O运动（不与点O重合）．作CQ⊥x轴交抛物线于点C，以线段CQ为斜边作如图所示的等腰直角△CQD．设运动时间为t秒．（1）求点B的坐标；
（2）当t=1秒时，求CQ的长；
（3）求t为何值时，点E恰好落在△CQD的某一边所在的直线上．
分析 （1）由抛物线与直线相交，联立找出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）找出当t=1时，C点的横坐标，代入抛物线即可得出C点的纵坐标，C点的纵坐标的绝对值即CQ的长度；
（3）用t表示出E点的坐标，以及线段DQ、CD、CQ所在的直线解析式，由点在直线上，即可解出t的值．
解答 解：（1）∵抛物线y=-x2+6x与与直线y=2x交于O，B两点，
∴2x=-x2+6x，解得：x=0（舍去），x=4，
当x=4时，y=2×4=8．
故点B的坐标为（4，8）．
（2）∵抛物线y=-x2+6x与x轴交于O，A两点，
∴-x2+6x=0，解得：x=0（舍去），x=6，
即点A的坐标为（6，0）．
当t=1时，点C横坐标x=6-1=5，
点C纵坐标y=-52+5×6=5．
故点C坐标为（5，5），
即当t=1秒时，CQ的长为5．
（3）过点D作DF⊥CQ于点F，如图所示．
当时间为t时，E点坐标为（t，2t），C点坐标为（6-t，6t-t2）．
∵△CQD为等腰直角三角形，且CQ⊥x轴，
∴DF∥x轴，且∠CDF=∠QDF=45°，
∴Q点坐标为（6-t，0），
设CD所在的直线解析式为y=x+b1，DQ所在的直线解析式为y=-x+b2．
结合C、Q点的坐标可知：$\left\{\begin{array}{l}{6t-{t}^{2}=6-t+{b}_{1}}\\{0=t-6+{b}_{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=-{t}^{2}+7t-6}\\{{b}_{2}=6-t}\end{array}\right.$．
故CD所在直线的解析式为y=x-t2+7t-6，DQ所在的直线解析式为y=-x-t+6，
而CQ所在直线的解析式为x=6-t．
当点E在CD所在的直线上时，有2t=t-t2+7t-6，
解得：t=3±$\sqrt{3}$；
当点E在DQ所在的直线上时，有2t=-t-t+6，
解得：t=1.5；
当点E在CQ所在的直线上时，有t=6-t，
解得：t=3．
综上可知：当t=1.5或3-$\sqrt{3}$或3或3+$\sqrt{3}$时，点E恰好落在△CQD的某一边所在的直线上．
点评 本题考察了求二次函数与一次函数交点、坐标系中点坐标的意义以及等腰直角三角形的性质．解题的关键：（1）解一元二次方程；（2）点C坐标的意义；（3）用t表示出△CQD三边所在直线的解析式．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）难度不小，解决该类型题目时，用时间t表示直线的解析式是关键．
名校课堂系列答案
| A． | 65° | B． | 60° | C． | 45° | D． | 70° |
| A． | △ABC是直角三角形，且∠A为直角 | B． | △ABC是直角三角形，且∠B为直角 | ||
| C． | △ABC是直角三角形，且∠C为直角 | D． | △ABC不是直角三角形 |