Question

11．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC=60°，∠ACB=15°，BD=2$\sqrt{3}$，则菱形ACEF的面积为12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先取AC的中点G，连接BG、DG，再根据∠ADC=90°，∠ABC=90°，判断出A、B、C、D四点共圆，点G是圆心；然后求出∠BGD=90°，即可判断出△BGD是等腰直角三角形；最后解直角三角形，分别求出AD、CD的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形ACEF的面积为多少即可．

解答 解：如图1，取AC的中点G，连接BG、DG，，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，点G是圆心，
∴∠ACD=∠ABD=90°-∠DBC=90°-60°=30°，
∵∠AGB=15°×2=30°，∠AGD=30°×2=60°，
∴∠BGD=30°+60°=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴BG=DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{6}$，
∴AC=2$\sqrt{6}$，
∴AD=2$\sqrt{6}×sin30°=2\sqrt{6}×\frac{1}{2}=\sqrt{6}$，
∴$CD=2\sqrt{6}×cos30°=2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{2}$，
∴菱形ACEF的面积为：
3$\sqrt{2}×\sqrt{6}÷2×4$
=$6\sqrt{3}÷2×4$
=$12\sqrt{3}$
故答案为：12$\sqrt{3}$．

点评 （1）此题主要考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（3）此题还考查了解直角三角形问题，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．