Question

20．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF=2∠BOE，则∠BOD=75°．

Answer 1

分析 首先根据OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE，求出∠BOE=30°；然后求出∠AOE=150°，再根据OC平分∠AOE，求出∠AOC的度数；最后根据∠BOD和∠AOC互为对顶角，求出∠BOD的度数是多少即可．

解答 解：∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∵∠BOF=2∠BOE，
∴3∠BOE=90°，
∴∠BOE=90°÷3=30°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-30°=150°，
又∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}×150°$=75°，
∵∠BOD和∠AOC互为对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=75°．
故答案为：75°．

点评 （1）此题主要考查了垂线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）此题还考查了对顶角和邻补角的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．②补角互补，即和为180°．