Question

16．已知：关于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m+2=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）若Rt△ABC中，∠C=90°，tanA的值恰为（1）中方程的根，求cosB的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知得出b²-4ac=[-（m-1）]²-4（m+2）=0，求出即可；
（3）先利用求根公式得出（1）中方程的根，即tanA的值，再根据锐角三角函数定义求出cosB的值．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m+2=0有两个相等的实数根，
∴△=b²-4ac=0，
即=[-（m-1）]²-4（m+2）=0，
解得：m=7或m=-1，
∴m的值为7或-1；

（2）∵（1）中方程的根为x=$\frac{m-1}{2}$，tanA＞0，
∴m=7，x=3，即tanA=3=$\frac{a}{b}$，
∴a=3b，
∵∠A+∠B=90°，
∴cosB=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{3b}{\sqrt{10}b}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
同时考查了锐角三角函数定义．