Question

7．在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是图形W上的任意两点．若|x₁-x₂|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度l₁=M；若|y₁-y₂|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度l_y=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度l_x=|3-1|=2；在y轴上的投影长度l_y=|4-0|=4．
（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则l_x4，l_y3．
（2）已知点C（4，0），点D在直线y=2x+6上，若图形W为△OCD．当l_x=l_y时，求点D的坐标．
（3）若图形W为函数y=x²（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足l_x=l_y≤1时，请直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；
（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依据l_x=l_y，列方程求解即可；
（3）设A（a，a²）、B（b，b²）．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由l_x=l_y可得到b+a=1，然后根据0≤a＜b可求得a的取值范围．

解答 解：（1）∵A（3，3），
∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．
∴△OAB在y轴上的投影长度l_y=3．
∵B（4，1），
∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．
∴△OAB在x轴上的投影长度l_x=4．
故答案为：4；3．
（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．

设D（x，2x+6），则PD=2x+6．
∵PD⊥x轴，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵l_x=l_y，
∴2x+6=4-x，解得；x=-$\frac{2}{3}$．
∴D（-$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{3}$）．
如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．

设D（x，2x+6），则PD=-2x-6．
∵PD⊥x轴，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵l_x=l_y，
∴-2x-6=4-x，解得；x=-10．
∴D（-10，-14）．
综上所述，点D的坐标为（-$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{3}$）或（-10，-14）．
（3）如图3所示：

设A（a，a²）、B（b，b²）．则CE=b-a，DF=b²-a²=（b+a）（b-a）．
∵l_x=l_y，
∴（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．
∵b≠a，
∴b+a=1．
又∵0≤a＜b，
∴a+a＜1，
∴0≤a＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W在坐标轴上的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据l_x=l_y列出关于x的方程和不等式是解题的关键．