Question

16．已知等边三角形ABC的边长为4，点A的坐标为（一1，0），点B在x轴正半轴上，点C在第一象限，边AC与y轴交于点D．
（1）求B、C、D三点的坐标．
（2）求图象经过B、C、D三点的二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）过C作CE⊥ABxX轴于E点，可得出E的坐标，A、B的坐标，再由△ABC可求出CE的长度，继而可得出C的坐标，然后根据比例关系可求出D点坐标．
（2）用待定系数法求解，设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将三点代入联立求解可求出a、b、c的值，即得出函数解析式．

解答 解：（1）过C作CE⊥AB交x轴于E点，
∵△ABC是等边三角形，AB=AC=BC=4，A（-1，0），
∴B（3，0），E（1，0），
∴AE=2．
在Rt△ACE中，CE=AC•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴C（1，2$\sqrt{3}$）．
∵CE∥DO，
∴$\frac{DO}{CE}$=$\frac{AO}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DO=$\sqrt{3}$，
∴D（0，$\sqrt{3}$）；

（2）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{9a+3b+c=0}\\{a+b+c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{5\sqrt{3}}{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查待定系数法求二次函数解析式，结合了等边三角形的性质，综合性比较强，难度也很大．