Question

9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=$\frac{2}{3}$，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△FEC，其中点E正好落在AB上，EF与AC相交于点D，那么$\frac{AE}{EB}$=$\frac{9\sqrt{5}-20}{4}$，$\frac{AD}{FD}$=$\frac{9\sqrt{5}-20}{3}$．

Answer 1

分析 过C作CG⊥AB于G，根据已知条件设BC=2，AB=3，由勾股定理得AC=$\sqrt{5}$，由射影定理得CB²=BG•AB，得到BG=$\frac{4}{3}$，由旋转的性质得CE=BC=2，FC═AC=$\sqrt{5}$，∠F=∠A，根据勾股定理得到EG=$\sqrt{C{E}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，根据根于是矩形的性质得到BE=$\frac{4\sqrt{5}}{4}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过C作CG⊥AB于G，
∵cosB=$\frac{2}{3}$，
设BC=2，AB=3，由勾股定理得AC=$\sqrt{5}$，
由射影定理得CB²=BG•AB，
∴BG=$\frac{4}{3}$，
由旋转的性质得CE=BC=2，FC═AC=$\sqrt{5}$，
∠F=∠A，
∴EG=$\sqrt{C{E}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，BG=EG，
∴BE=$\frac{4\sqrt{5}}{4}$，
∴AE=3-$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，$\frac{AE}{EB}$=$\frac{3-\frac{4\sqrt{5}}{3}}{\frac{4\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{9\sqrt{5}-20}{4}$，
∵∠FDC=∠ADE，
∴△ADF∽△FDC，
∴$\frac{AD}{FD}$=$\frac{AE}{CF}$=$\frac{3-\frac{4\sqrt{5}}{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{9\sqrt{5}-20}{3}$，
故答案为：$\frac{9\sqrt{5}-20}{4}$，$\frac{9\sqrt{5}-20}{3}$．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．