题目内容

18．如图1，已知△ABC的三顶点坐标分别为A（-1，-1），B（3，-1），C（0，-4），二次函数y=ax2+bx+c恰好经过A、B、C三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，若点P是△ABC边AB上的一个动点，过点P作PQ∥AC，交BC于点Q，连接CP，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M是直线y=x上的一个动点，点N是二次函数图象上的一动点，若△CMN构成以CN为斜边的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点N的横坐标．

分析 （1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；
（2）利用S△PCQ=S△PBC-S△PBQ，把△CPQ的面积用二次函数表达出来即可解题；
（3）分类讨论，利用题干中给出的△CMN是以CN为斜边的等腰直角三角形，做出辅助线即可解题．

解答 解：（1）把A（-1，-1），B（3，-1），C（0，-4）代入y=ax2+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=-1}\\{9a+3b+c=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=x2-2x-4；

（2）设点P（t，-1）（-1≤t≤3），则AP=t+1，BP=3-t，
∵AB=4，OC=3，∴S△ABC=6，
∵PQ∥AC，∴△BPQ～△BAC，
∴$\frac{{{S_{△BPQ}}}}{{{S_{△BAC}}}}={（\frac{BP}{BA}）^2}={（\frac{3-t}{4}）^2}$，
∴${S_{△BPQ}}={（\frac{3-t}{4}）^2}•{S_{△BAC}}=\frac{3}{8}{（t-3）^2}$，
又∵S△PCB=$\frac{1}{2}$•PB•3=$\frac{3}{2}$（3-t），
∴S△PCQ=S△PBC-S△PBQ=-$\frac{3}{8}$t2+$\frac{3}{4}$t$\frac{9}{8}$=-$\frac{3}{8}$（t-1）2+$\frac{3}{2}$，
∴t=1时，S△PCQ最大，此时点P（1，-1）；

（3）①如图2，过M作MQ⊥y轴于Q，过N作NP⊥MQ交MQ的延长线于P，设M点坐标（m，m），

∵△CMN是以CN为斜边的等腰直角三角形，
∴MN=CM，
∵∠MCQ+∠CMQ=90°，∠NMP+∠CMQ=90°，∴∠MCQ=∠NMP，
∵在△CMQ和△MNP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NPM=∠MQC=90°}\\{∠MCQ=∠NMP}\\{MN=CM}\end{array}\right.$，
∴△CMQ≌△MNP，
∵C点坐标为（0，-4）
∴PM=CQ=m+4，
∵MQ=m，
∴PQ=4，
∴点N的横坐标为-4，
②如图3，过M作MQ⊥y轴于Q，过N作NP⊥MQ交MQ于P，设M点坐标（m，m），

∵△CMN是以CN为斜边的等腰直角三角形，
∴MN=CM，
∵∠MCQ+∠CMQ=90°，∠NMP+∠CMQ=90°，
∴∠MCQ=∠NMP，
∵在△CMQ和△MNP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NPM=∠MQC=90°}\\{∠MCQ=∠NMP}\\{MN=CM}\end{array}\right.$，
∴△CMQ≌△MNP，
∴PQ=CQ=4+m，NP=MQ=-m，
∵NP=（4+m）2-2（4+m）-4-m，（N点纵坐标减P点纵坐标），
∴m2-2m-4=0；
解得：m=1-$\sqrt{5}$，或1+$\sqrt{5}$；
故所有满足条件的点N的横坐标为$-4，1-\sqrt{5}，1+\sqrt{5}$．

点评 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

练习册系列答案
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13．观察下列等式：

在上述数字宝塔中，从上往下数，2017在第44层．
3．下列说法中正确的是（　　）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．“概率为0.001的事件”是不可能事件
C．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
10．根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出扇形统计图中m的值；
（2）求从2010年到2016年，中国网民人数平均每年增长的人数；
（3）据2016年南昌市人口统计数据显示网民数约为200万人．若2016年南昌市的网民学历结构与2016年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2016年末该市网民学历是高中、中考、技校的约有多少万人．
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