Question

14．观察下列各式，发现规律：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$；$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$；…
（1）填空：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$；
（2）计算（写出计算过程）：$\sqrt{2015+\frac{1}{2017}}$；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．

Answer 1

分析 （1）根据等式的变化，再写出后面两个等式即可；
（2）通分后再开平方即可得出结论；
（3）根据等式的变化找出变化规律“$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n≥1）”，此题得解．

解答 解：（1）∵$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$；$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$；
∴$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$，$\sqrt{5+\frac{1}{7}}$=6$\sqrt{\frac{1}{7}}$．
故答案为：5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；6$\sqrt{\frac{1}{7}}$．
（2）$\sqrt{2015+\frac{1}{2017}}$=$\sqrt{\frac{2015×2017+1}{2017}}$=$\sqrt{\frac{4064256}{2017}}$=2016$\sqrt{\frac{1}{2017}}$．
（3）观察，发现规律：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$；$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$；…，
∴$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n≥1）．

点评 本题考查了实数以及规律型中数字的变化类，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键．