Question

1．如图，点E是等边△ABC内一点，连按BE、AE，且AE=BE，将线段BC沿BE翻折，使点C落在点D处，连接DE．下列结论正确的个数为（　　）
①∠ACB=2∠BDE；②∠AEB=90°；③AC=BD；④AC⊥BD．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据折叠的性质得到∠BDE=∠BCE，根据全等三角形的性质得到∠BCE=∠ACE，于是得到∠ACB=2∠BDE；故①正确；根据全等三角形的性质得到AC=BC，等量代换得到AC=BD，故③正确；根据已知条件得到直线CE垂直平分AB，得到点E在AB的垂直平分线上，且点E是等边△ABC内一点，求得60°＜∠AEB＜180°，故②错误，根据三角形的内角和得到60°＜∠AGB＜180°，故④错误．

解答 解：∵将△BCE沿着BE折叠得到△BDE，
∴∠BDE=∠BCE，
在△BCE与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{AE=BE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACE，
∴∠BCE=∠ACE，
∴∠ACB=2∠BCE，
∴∠ACB=2∠BDE；故①正确；
∵△BCE≌△ACE，
∴AC=BC，
∵BC=BD，
∴AC=BD，故③正确；
∵AC=BC，AE=BE，
∴直线CE垂直平分AB，
∴点E在AB的垂直平分线上，且点E是等边△ABC内一点，
∴60°＜∠AEB＜180°，故②错误，
设AC，BD交于G，
∵∠EBD=∠EAC，∠AFG=∠BFE，
∴∠AGF=∠BEF，
∵60°＜∠AEB＜180°，
∴60°＜∠AGB＜180°，故④错误．
故选B．

点评 本题考查的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．