Question

16．定义新运算：若$\stackrel{→}{m}$=（a，b），$\stackrel{→}{n}$=（c，d），则$\stackrel{→}{m}$•$\stackrel{→}{n}$=ac-bd；
若$\stackrel{→}{m}$=（1，2），$\stackrel{→}{n}$=（3，5），则$\stackrel{→}{m}$•$\stackrel{→}{n}$=1×3-2×5=-7；
（1）已知$\stackrel{→}{m}$=（2，4），$\stackrel{→}{n}$=（2，-3），求$\stackrel{→}{m}$•$\stackrel{→}{n}$；
（2）已知$\stackrel{→}{m}$=（x-a，1），$\stackrel{→}{n}$=（2x，x+1），令y=$\stackrel{→}{m}$•$\stackrel{→}{n}$，求y，并思考y=$\stackrel{→}{m}$•$\stackrel{→}{n}$的函数图象与一次函数y=x+1的图象是否相交，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据$\stackrel{→}{m}$•$\stackrel{→}{n}$=ac-bd，代入数据即可求出结论；
（2）根据$\stackrel{→}{m}$=（x-a，1）、$\stackrel{→}{n}$=（2x，x+1）结合$\stackrel{→}{m}$•$\stackrel{→}{n}$=ac-bd即可找出y关于x的函数关系式，将其代入y=x+1中整理得x²-（a+1）x-1=0，再根据根的判别式△=b²-4ac=（a+1）²+4＞0，即可得出y=$\stackrel{→}{m}$•$\stackrel{→}{n}$的函数图象与一次函数y=x+1的图象相交．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（2，4），$\overrightarrow{n}$=（2，-3），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2×2-4×（-3）=16．
（2）两函数图象相交．理由如下：
∵$\stackrel{→}{m}$=（x-a，1），$\stackrel{→}{n}$=（2x，x+1），
∴y=$\stackrel{→}{m}$•$\stackrel{→}{n}$=（x-a）•2x-（x+1）=2x²-2ax-x-1=2x²-（2a+1）x-1．
将y=2x²-（2a+1）x-1代入y=x+1，整理得：x²-（a+1）x-1=0．
∵△=b²-4ac=（a+1）²+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴两函数图象相交．

点评 本题考查了根的判别式以及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是：（1）根据定义式$\stackrel{→}{m}$•$\stackrel{→}{n}$=ac-bd代入数据求值；（2）利用根的判别式△=b²-4ac=（a+1）²+4＞0，找出y=$\stackrel{→}{m}$•$\stackrel{→}{n}$的函数图象与一次函数y=x+1的图象相交．