Question

k是自然数，且

1001•1002•…•1985•1986

11k

是整数，k的最大值是多少？

Answer 1

考点：取整计算,数的整除性

专题：

分析：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除，由此先判断1001至1986之间能被11整除的个数，再求所得余数中间能被11整除的个数，然后再求余数的余数能被11整除的个数，从而即可得出答案．

解答：解：由题意得：1001可以被11可以被11整除，以后每个11个数就会出现一个可以被11整除的数，
∴1001至1986之间有90个数能被11整除，
1001至1986之间能被11整除的最后一个数为1980，

1001

11

=91，

1980

11

=180，
∴91至180之间能被11整除的有99、110、121、132、143、154、165、176，共8个．
又

99

11

=9，

176

11

=16，
∴9至16之间能被11整除的只有11，共一个．
综上可得：共有90+8+1=99个数能被11整除．
故k的最大值是99．

点评：本题考查了数的整除性的知识，难度较大，关键是掌握判断能被11整除的数的特征，依次判断原数、原数除以11后的余数、余数的余数能被11整除的个数．